Simuladors & probabilitat

Per treballar el bloc de Probabilitat, tant amb alumnes de Primària com d’ESO, és fonamental l’experimentació. Davant d’un cert experiment aleatori els alumnes han de predir si un esdeveniment és possible o impossible o predir si un esdeveniment és més probable que un altre. Aquesta predicció ha de ser confrontada amb resultats experimentals i després, es pot fer l’anàlisi teòrica de la resposta.

En moltes ocasions no es pot fer l’experimentació perquè a l’aula no tenim prou material per tots els alumnes o no tenim prou temps per repetir l’experiment una gran quantitat de vegades, la qual cosa dóna força a les conclusions (llei dels grans nombres). En aquests casos són molt útils els manipuladors virtuals com els que descriurem a continuació.

Exemples:

1) Si llancem dues monedes la probabilitat que surti una cara i una creu és 50%, més del 50% o menys del 50%?

Amb aquest simulador hem fet 200 llançaments de 2 monedes que ens permetin comptar quants cops entre les 200 ha sortit una cara i una creu. Informació complementària aquí.

2) Si llancem dos daus i fem la diferència entre els dos valors resultants, quin és el resultat més probable: 0, 1, 2, 3, 4 i 5?

Amb aquest simulador hem fet més de 1000 llançament i hem comprovat que el resultat més freqüent és l’1.

3) Què és més probable en llançar tres daus: que sumin 9 o que 10?

Amb aquest simulador hem fet 5000 llançament de tres daus i hem valorat la freqüència de cada resultat de la suma dels tres valors. Podem trobar una anàlisi teòrica d’aquest problema històric aquí.

4) Problema Monty Hall: en un concurs es proposa escollir entre tres portes una de les quals amaga un cotxe i les altres dues amaguen carabassa, quan el concursant tria una porta, el presentador del concurs obre una de les altres portes que guarda una carabassa i li pregunta si vol seguir amb la mateixa porta que havia escollit o prefereix canviar de porta inicial. Quina estratègia serà millor? Canviar o mantenir la porta triada? O serà indiferent?

Amb aquest simulador hem fet més de 700 simulacions i hem vist que l’estratègia de canviar la porta triada inicialment és la millor estratègia.

5) Si en totes les capses de cereals d’una certa marca es posa una figureta i sabem que hi ha 6 figuretes diferents, quantes capses de cereals he de comprar de mitjana per tenir una col·lecció completa?

Amb aquest simulador hem fet 100 experiments, en una ocasió comprant 6 capses ja hem aconseguit les 6 figuretes, en una altra ocasió hem necessitat comprar 31 capses per completar la col·lecció, però en mitjana comprar 14 capses ha estat suficient per tenir les 6 figuretes de la col·lecció.

Anuncis

Calculadores II

Aquest post és continuació del post “Calculadores” que vam escriure sobre el mateix tema l’any passat, sobre el que podriem afegir ara dos comentaris:

  • la “Calculadora de Alicia” ja calcula i explicita els passos per obtenir el resultat, no només de les quatre operacions bàsiques, sinó també del càlcul d’arrels quadrades i de descomposicions factorials
  • la calculadora QAMA, aquella que només ens dóna el resultat d’una operació si prèviament li donem nosaltres un resultat aproximat, ja està disponible per a IPAD i funciona fantàsticament.

Però volíem dedicar aquest nou post a una de les calculadores que allí no esmentàvem i que és una de les favorites dels nostres alumnes d’ESO per totes aquelles activitats en que l’ús de calculadora està permès: Myscript Calculator

 

Aquesta calculadora ja va ser esmentada en aquest blog, ja que la Carme Torralba la va presentar en el programa Generació Digital del Canal 33 en el que vam participar diversos mestres de la nostra escola. Però ara voldriem destacar usos didàctics que podem donar a aquesta calculadora per la seva característica de completar igualtat, més que donar resultats.

En aquesta calculadora si escrivim “3+4” ens torna “3+4=7” però si escribim “3 = 4+ ?” ens torna aixòimage-1

Creiem que aquesta possibilitat ens ajuda a donar una millor noció del significat del signe =

image-1-1

Aquesta és la resposta de Myscript calculator davant la demanda “?/25=37”,
o sigui, davant la pregunta quin nombre dividit entre 25 dóna 37.

Un exemple, ahir, a 4t d’ESO estàvem buscant extendre els nostres coneixements de trigonometria sobre angles entre 0º i 90º a angles més grans que 90º i aquesta calculadora ens va donar l’oportunitat d’experimentar per poder fer conjectures que després vam poder justificar

Amb moltes preguntes del tipus “Quin angle del primer quadrant té el mateix valor de sinus que 137º?” els alumnes van poder buscar patrons entre les preguntes i les respostes donades per la calculadora.

Aquesta és la resposta que ens dóna quan li demanem “sin 137 = sin ?”:

image-1

I a partir d’aquí vam poder conjecturar que sin (90+x) = sin (90-x) o que sin (180-x) =sin (x)

Fantàstic, oi?

Plickers: una manera de recollir respostes

plickersPlickers és una aplicació que permet recollir ràpidament respostes dels alumnes encara que ells no disposin d’un dispositiu per transmetre-les.

El professor ha de tenir instal·lada l’aplicació al seu dispositiu mòbil però els alumnes només han de disposar d’unes targetes fotocopiables que els permetin triar entre 4 opcions (A, B, C i D) que a l’ensenyar-les el professor pot escanejar i rebre en el seu dispositiu identificant a cada alumne.

Aquest àlbum dóna en 9 fotos una millor descripció del potencial d’aquesta apllicació

Captura de pantalla 2016-11-10 a les 6.43.51.png

L’ha fet servir en un aula de 25 alumnes i realment va funcionar bé. Si els alumnes tenen dispositiu mòbil i connexió a internet, certament no és aquesta la millor opció per recollir respostes, però hi ha moments en que crec que val la pena tenir present l’existència d’aquesta opció.

Desmos

calc_thumb En altres entrades d’aquest blog hem parlat de Geogebra principalment en relació a la seva utilitat en temes de Geometria. Però el Geogebra també inclou una poderosa calculadora gràfica que és la que fem servir a l’escola per treballar amb els alumnes de 3r i 4t d’ESO quan estudiem àlgebra. De tota manera, aquesta no és l’única calculadora gràfica que val la pena que coneguin els nostres alumnes i en aquest sentit vull presentar aquí una altra que porta per nom: Desmos.

Destaquem dues característiques que crec que donen sentit a conèixer una segona calculadora gràfica

  • permet fer el gràfic de les funcions trigonomètriques mesurant els angles en graus com es fa a l’ESO i no en radians com ho fa el Geogebra (que és com es fa servir en estudis més avançats de Matem àtiques)

Captura de pantalla 2016-05-13 a les 11.28.31.png

  • permet donar l’expressió algebraica d’una funció definida en més de dos intervals d’una manera més natural que la requerida per Geogebra que involucra utilitzar dos cops el comandament Si[ <Condició>, <Aleshores>, <Altrament>] (tal com es veu a la segona imatge de les que apareix a continuació)
Captura de pantalla 2016-05-13 a les 12.03.18.png

En Desmos

Captura de pantalla 2016-05-13 a les 12.04.03.png

En Geogebra

A més de donar representacions gràfiques, Desmos permet utilitzar punts lliscants (podeu veure una mostra clicant a sobre de la imatge següent)

 

Hi ha disponible una app per a l’IPAD

Calculadores

Un dels aspectes centrals en l’ensenyament del càlcul numèric a primària i els primes curs de l’ESO és el desenvolupament de la capacitat de decidir en cada situació quin és el tipus de càlcul adient. Davant d’una situació plantejada en un problema aritmètic l’alumne ha de decidir primerament si cal un càlcul exacte o aproximat i després, si aquest càlcul el pot fer mentalment, si necessita llapis i paper o si té sentit fer-ho amb calculadora.

Dit això, perquè quedi clar que no es tracta de promoure l’ús indiscriminat de la calculadora, podem procedir a llistar algunes calculadores disponibles a la xarxa que pot interessar conèixer als mestres.

  • la calculadora d’Alicia no només dona el resultat d’una operació

calc6

  • hi ha calculadores que permeten calcular amb nombres de moltíssimes xifres

wirislatevacalculadoraalaxarxa-2

  • hi ha calculadores que només donen el resultat si l’usuari es capaç de donar primer una bona estimació del resultat

qamacalc

Per acabar crec que val la pena esmentar a les calculadores trencades com a una eina no ce càlcul en el sentit usual sinó com a eina didàctica per afavorir el càlcul mental

calc4aA l’escola ja fa temps que intentem incloure la calculadora com a una eina més del treball en aritmètica. Clicant a la fotografia es pot accedir a una experiència portada a terme a l’any 2011 en aquest sentit:

calcalumsp01

 

VIII Jornada de l’ACGeogebra

Aquest cap de setmana, dues mestres de l’escola hem assistit a les vuitenes jornades organitzades per l’Associació Catalana de Geogebra, que aquest any portaven per títol: “Acostem (més) el Geogebra a l’aula”.

A més de la informació que teniu disponible sobre aquestes jornades a la pàgina web de l’ACGeogebra, us deixo un resum fet amb Storify de les conferències i comunicacions presentades:

ggb16

Entre les moltes novetats que, com cada any, vam descobrir a partir de les aportacions de diferents mestres participants de les jornades, destacaré:

  • l’eina GEOGEBRA GRUPS una mena de xarxa social de Geogebra on podem gestionar molt millor el lliurament de feines dels nostres alumnes
  • l’eina GEOGEBRA EXAM MODE (malgrat que encara no funciona en Ipads ho farà en el futur proper)
  • l’app SHOWBIE amb la que els mestres de l’Oak House School gestionen el lliurament de treballs dels seus alumnes (en particular, els comentaven els treballs fets amb Notability on integraven l’ús de Geogebra)

Text matemàtics als google docs

Per incloure texts matemàtics en un document de Google tenim disponible el comandament “Equació”Captura de pantalla 2016-01-20 a les 8.23.14.png

A continuació incloem alguns exemples on es pot veure algunes dificultats que tenim els usuaris per controlar la mida dels nombres quan volem escriure-hi fraccions:Captura de pantalla 2016-01-20 a les 8.27.46.png

En les ajudes de GoogleDocs hi ha algunes solucions per a la dificultat esmentada però realment no són gens “elegants” (exemple 1, exemple2, exemple3).

gmathUna altra opció és utilizar el complement g(Math) (podeu llegir sobre aquest complement en aquest post del blog En la nube Tic).

Per la meva experiència amb aquest complement tinc la impressió que funciona millor en Chrome que en altres navegadors.

Amb aquest complement els exemples anterior lluiran així:Captura de pantalla 2016-01-20 a les 9.01.25.png

És evident la millora estètica però ens cal esperar si aquest complement es desenvoluparà en el futur de manera de resoldre certes carències notables que fan difícil incorporar-lo a l’ús habitual (la meva experiència d’ús no m’ha permès saber com accedir a una fórmula després d’editada per modificar-la).

Dibuixar vs Construir

En aquest blog ja hem parlat del Geogebra (un programari lliure interactiu que permet treballar amb alumnes de primària i secundària la geometria, l’àlgebra o l’aritmètica). Avui us voldria comentar una utilitat del Geogebra que considero un bon motiu per portar-lo a l’aula quan treballem la Geometria. Ho faré a través d’aquest breu vídeo:

És possible que encara no feu servir Geogebra perquè sentiu que necessiteu una formació específica per començar a fer-ho. Si és així, penseu que a l’escola hi ha uns quants mestres que estaran encantats d’ajudar-vos a fer les vostres primeres passes en aquest sentit.

GIFs matemàtics; imatges que ensenyen

Un arxiu .gif permet emmagatzemar animacions senzilles que poden ser molt inspiradores d’idees matemàtiques. Podeu fer vosaltres mateixos els vostres propis arxius .gif a partir d’imatges fent servir diferents eines, Una que és molt senzilleta però va força bé http://gifmaker.me/

Us deixo uns quants exemples d’aquest tipus d’imatges perquè observeu el seu potencial:

Regle de formació del Triangle de Pascal

Comprovació empírica del Teorema de Pitàgores

El perímetre de la circumferència coincideix amb el diàmetre multiplicat per PI

L’àrea d’un cercle coincideix amb la d’un triangle de base 2πR i altura R

El volum de la semiesfera és la diferencia entre el volum del cilindre i el con

El·lipse

Diferents descomposicions factorials d’un nombre

Construcció d’un hexàgon regular amb regle i compàs

La solució del problema de les torres de Hanoi de 4 pisos

Definició de logaritme

La quadratura del triangle equilàter

Definició de radian (unitat de mesura d’angles equivalent a 180/π graus)

La suma de tots els nombres des de l’1 fins a n elevada al quadrat coincideix amb la suma dels mateixos nombres elevats al cub

A qui seguir?

Un dels majors problemes que tenim els mestres que fem servir el Timeline de Twitter amb finalitats professionals és la tria d’un conjunt no massa gran de piuladors als que puguem llegir i que ens aportin informació valuosa per a la nostra formació continua com a mestres. El mateix ens pot passar en triar els blogs que volem seguir amb aquest objectiu formatiu. I és que la gran diferència entre el nostre claustre virtual (així anomena Jordi Adell als companys de viatge professional que tenim a les xarxes socials) i “l’altre claustre” és la possibilitat de triar-lo.

Amb la intenció de col·laborar en aquesta tria, comento tres usuaris de Twiter i tres blogs que crec que poden tenir interès per a un mestre de Matemàtiques:

  • @creamat1 compte del Centre de recursos per ensenyar i aprendre matemàtiques del Departament d’Ensenyament a travès del qual ens mantenen informats d’activitats de formació i suggereixen bons recursos per portar a l’aula, tant de primària com de secundària
  • @tocamates compte del Joseángel Murcia que proposa reptes interessants per als més petits
  • @Simon_Gregg compte d’un mestre de 4t de primària de Toulouse, apasionat per les Matemàtiques i per explicar la seva feina a la xarxa.
  • NRICH blog del projecte de la Universitat de Cambridge per a l’enriquiment d’activitats matemàtiques a l’aula
  • Starter of the day una col·lecció fantàstica de petites activitats per començar la classe
  • Pure Numbers Daily blog un blog que cada dia publica una igualtat numèrica a partir de les xifres que indiquen la data del dia (per exemple, avui, 4/26/15 proposen 4 – 2 = 6 + 1 – 5,  (4 + 2) / 6 = 1^5  i  √4 = 2 = 6 + 1 – 5)
%d bloggers like this: